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Ricordate le equazioni che si risolvevano alle superiori ?
Oggi andremo a vedere un tipo di equazioni molto particolare, le Equazioni Diofantee.

Queste non hanno dominio in R come siamo abituati a ragionare, ma bensì in Z.

Rinfreschiamo i concetti degli insiemi numeri:
N:{1,2,3,4,5,6….}
Z:{..-2,-1,0,1,2..}
Q:{a/b|a,b appartengono a Z, b diverso da 0}
R:{tutti i numeri che conosciamo e possiamo immaginare}

Quindi abbiamo capito che una Equazione Diofantea ammette soluzioni solo se queste sono fatte di numeri interi.
Ma quante sono le possibili soluzioni ?
Come facciamo a calcolarle ?

Per capire come risolverle vediamo un esempio pratico !
5X + 7Y = 3

Fase 1 :
Prima di tutto dobbiamo ricavare il Massimo Comune Divisore della nostra equazione tramite l’algoritmo euclideo esteso che ricordo si svolge cosi:
a = q * b + r
dove q è il quoziente e r il resto

Quindi:
Passo (0) 5 = 0 * 7 + 5
Passo (1) 7 = 1 * 5 + 2
Passo (2) 5 = 2 * 2 + 1
Passo (3) 2 = 2 * 1 + 0
Passo (4) 1 = Massimo Comune Divisore ( 5 , 7 )

L’ultimo fattore che riporta un resto non nullo è il nostro Massimo Comune divisore, in questo caso lo abbiamo trovato con 3 passi:
Passo (3) 2 = 2 * [1] + 0
1 è il nostro massimo comune divisore !

Fase 2:
Dividiamo il termine noto della equazione per il massimo comune divisore:
3 / 1 = 3

Fase 3:
Costruiamo una tabella dove riportiamo i seguenti valori:
Passo | Resto | Quoziente | S | T |
0 | 5 | \ | 1 | 0 |
1 | 7 | 0 | 0 | 1 |
2 | 5 | 1 | 1 | 0 |
3 | 2 | 2 | -1 | 1 |
4 | 1 | 2 | 3 | -2 |

La colonna delle S la costruiamo in questo modo:
S = S di due passi prima – ( quoziente * S del passo prima)

La colonna delle T la costruiamo in questo modo:
T = T di due passi prima – ( quoziente * T del passo prima)

Fase 4:
Moltiplichiamo S * il numero trovato nella fase 3
Moltiplichiamo T * il numero trovato nella fase 3
X’ = S * num fase 3 = 3 * 3 = 9
Y’ = T * num fase 3 = (-2) * 3 = -6

Fase 5:
Risolviamo l’equazione omogenea 5Xo + 7Yo = 0
Yo = 5K / mcd
Xo = -7K / mcd

Fase 6:
Abbiamo finito, uniamo le soluzioni trovate nella fase 4 e 5..

Equazione: 5X + 7Y = 3
Soluzione analitica : {X’ + Xo , Y’ + Yo | K appartiene a Z}
Soluzione equazione Diofantea: { 9 – 7 K , -6+5 K | K appartiene a Z }
Dove 9-7K è il valore che possiamo dare alla X
e
-6+5K è il valore che possiamo dare alla Y

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Abbiamo finito !
Ora qualunque valore si andrà ad assegnare a K modificherà i coefficienti X e Y in modo che restituiscano sempre valore 3 alla nostra equazione !

Saluti !